Baza znanja

INTEGRALI

Oh te integrali… Da se vam bo malo lažje spopsti s temi strašnimi integrali, smo vam spodaj pripravili nekaj učne snovi, ki vam bo pomagala pri učenju. Oglejte si pomembne definicije integriranja, pod katerimi so videoposnetki z jasno in počasno razlago reševanja nalog. Zbrali smo zapiske in vse pomembne fomrule, ki vam bodo prišle prav med reševanjem vaj iz integralov. Spodaj pa imate za vajo kar nekaj nalog z namigi, postopki in rešitvami. Have fun 🙂

DEFINICIJE
POSNETKI
ZAPISKI
FORMULE
NALOGE

Integral je osnova višje matematike, natančneje matematične analize in ifinitezimalnega računa.

Temelje integralskega računa sta postavila Isaac Newton in Gottfried Wilhelm Leibniz v poznem 17. stoletju. Integral funkcije je prek osnovnega izreka infinitezimalnega računa povezan z njenim odvodom, določen integral funkcije na nekem intervalu pa je, ko poznamo nedoločenega, moč enostavno izračunati. Integral in odvod sta postala osnovni orodji infinitezimalnega računa, izjemno uporabnega v znanosti in tehniki.

Naj bo f zvezna funkcija na intervalu [a, b]. Funkciji F pravimo nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f, če je F' = f in pišemo

    \[F(x) = \itn f(x) dx\]

Kadar nedoločeni integral funkcije f obstaja, to ni ena sama funkcija. Če je F integral funkcije f in C poljubna konstanta, je tudi F+C integral iste funkcije, saj imata funkciji F in F+C isti odvod f.

Indefinite integration. Sucks. - 9GAG

Če obstaja limita

    \[\lim_{d \rightarrow 0} \Sigma_{i=1}^{n} f(\xi_i)d_i, \]

potem število I imenujemo nedoločeni integral funkcije f na intervalu [a,b]in označimo

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx\]

kjer je a spodnja meja in b zgornja meja določenega integrala.

Določeni integral računamo po Newton-Leibnizovi formuli:

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Določen integral se uporablja za izračun ploščine krivočrtnega lika, ki ga na izbranem intervalu omejujeta nenegativna zvezna funkcija in abscisna os.

bored of all the +C memes? never actually seen an indefinite integral irl? : r/mathmemes

Lastnosti nedoločenega integrala:

  1. \int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx
  2. \int k f(x) dx = k \int f(x) dx

Lastnosti določenega integrala:

  1. \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx
  2. \int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx
  3. \int_{a}^{b} f(x) dx =\int{a}^{c} f(x) dx + \int{c}^{b} f(x) dx
  4. \int_{a}^{a} f(x) dx = 0
  5. \int_{a}^{b} f(x) dx = -\int{b}^{a} f(x) dx
Funkcija Integral Funkcija Integral
\int x^n dx \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \int \e^x dx \e^x + C
\int \frac{1}{x} dx ln |x| + C \int a^x dx  \frac{1}{\ln a}a^x + C
\int \sqrt{x} dx \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}} + C \int \e ^{nx}dx  \frac{1}{n}\e^{nx} + C
\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx 2\sqrt{x} + C \int \ln x dx  x\ln x - x + C
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \arcsin x + C \int \log_a x dx  x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C
\int \frac{1}{\sqrt{a-x^2}} dx \arctan \frac{x}{\sqrt{a-x^2}} + C \int x\e^x dx  \e^x(x-1) + C
\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a}} dx \sqrt{x^2-a} + C \int \sin x dx  -\cos x + C
\int \frac{1}{1+x^2} dx \arctan x + C \int \cos x dx  \sin x + C
\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}} dx \ln (x + \sqrt{x^2 \pm a^2}) + C \int \sin (nx) dx  -\frac{1}{n} \cos (nx) + C
\int \frac{1}{\cos^2 x} dx \tan x + C \int \cos (nx) dx  \frac{1}{n} \sin (nx)
\int \frac{1}{\sin^2 x}dx -\cot x + C \int \tan x dx  -\ln |\cos x| + C
\int \sinh x dx \cosh x + C \int \cot x dx  \ln |\sin x| + C
\int \cosh x dx \sinh x + C \int \sin^2 x dx  \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C
\int \frac{q}{\cosh^2 x} dx \tanh x + C \int \cos^2 x dx \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

Metoda dekompozicije:

Integrand skušamo preoblikovati, največkrat prevesti na vsoto ali razliko znanih integralov, pri tem upoštevamo lastnosti integriranja.

Metoda sobstitucije:

Uvedemo novo integracijsko spremenljivko t, tako da je x = x(t) odvedljiva funkcija. Pri tem se spremeni tudi diferencial dx = x ′ (t)dt in s tem celoten integrand: 

    \[\int f(x)dx = \int f(x(t))x ′ (t)dt\]

 

Če smo substitucijo x = x(t) izbrali pametno, je novi integral preprostejši od prejšnjega in ga znamo rešiti direktno.

Metoda integracije po delih oz. per partes:

Formula za integracijo per partes je

    \[\int udv = uv − \int vdu\]

,

kjer sta u in v funkciji spremenljivke x. Izpeljemo jo iz dejstva, da je uv = \int d(uv) = \int (udv + vdu) = \int udv + \int vdu. Integriranje po delih uporabljamo kadar je integrand produkt dveh raznorodnih funkcij, npr. produkt polinoma in eksponentne (logaritemske, trigonometrične) funkcije ali produkt eksponentne in trigonometrične funkcije.

Neomejen integracijski interval:

    \[\int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{b \rightarrow \infty } \int_{a}^{b} f(x)dx\]

    \[\int_{-\infty}^{b} f(x)dx = \lim_{a \rightarrow \infty } \int_{a}^{b} f(x)dx\]

Neomejena funkcija_

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x)dx\]

Ploščina lika

Naj bosta f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} zvezni, f(x)<g(x) za vsak x \in [a,b]. Ploščina lika, ki ga omejujejo premice x=a, x=b ter grafa funkcij f in g, je določena z

    \[S = \int_{a}^{b} (g(x)-f(x)) dx\]

Dolžina loka

Dolžina loka l funkcije f na intervalu [a,b] je enaka

    \[l = \int_{a}^{b} \sqrt{1-f'(x)^2}dx \]

Prostornina rotacijskega telesa

Prostornina rotacijskega telesa, ki nastane z vrtenjem zvezne funkcije na intervalu [a, b], je enaka

    \[v = \int_{a}^{b} \pi f(x)^2 dx.\]

Površina rotacijske plošče

Površina rotacijske plošče, ki nastane z vrtenjem zvezne funkcije na intervalu [a, b], je enaka

    \[P = 2\pi \int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dx.\]

Video posnetki

...

Zapiski

Prenesi zapiske

List s formulami

Prenesi zapiske

Nalogice

Izračunaj integral  \int_{1}^{2} x^{3} + \frac{1}{x^4} dx.

    \[x^3 + \frac{1}{x^4} = x^3 + x^{-4}\]

\int_{1}^{2} (x^3 + \frac{1}{x^4})dx = \int_{1}^{2}(x^3+ x^{-4}) dx = (\frac{x^4}{4} + \frac{x^{-3}}{-3})\big|_{1}^{2}

UGH, EQUATIONS SOLVE YOUR OWN PROBLEMS - Tony Stark Eye Roll | Make a Meme

    \[\text{Izračunaj integral} \int_{0}^{1} e^{2x} \sin^2(e^x-1)2 dx\]

    \[\text{Izračunaj integral} \int_{0}^{1} e^{2x} \sin^2(e^x-1)2 dx\]

[

text{Izračunaj integral} int_{0}^{1} e^{2x} sin^2(e^x-1)2 dx

]

UGH, EQUATIONS SOLVE YOUR OWN PROBLEMS - Tony Stark Eye Roll | Make a Meme

    \[\text{Izračunaj integral} \int_{0}^{1} e^{2x} \sin^2(e^x-1)2 dx\]

[

text{Izračunaj integral} int_{0}^{1} e^{2x} sin^2(e^x-1)2 dx

]

UGH, EQUATIONS SOLVE YOUR OWN PROBLEMS - Tony Stark Eye Roll | Make a Meme

UGH, EQUATIONS SOLVE YOUR OWN PROBLEMS - Tony Stark Eye Roll | Make a Meme

    \[\text{Izračunaj integral} \int_{0}^{1} e^{2x} \sin^2(e^x-1)2 dx\]

[

text{Izračunaj integral} int_{0}^{1} e^{2x} sin^2(e^x-1)2 dx

]

UGH, EQUATIONS SOLVE YOUR OWN PROBLEMS - Tony Stark Eye Roll | Make a Meme

UGH, EQUATIONS SOLVE YOUR OWN PROBLEMS - Tony Stark Eye Roll | Make a Meme

DODATNE NALOGE ZA SAMOSTOJNO REŠEVANJE

1. Naloga  Izračunaj integral:

    \[\int_{0}^{1} e^{2x} \sin^2(e^x-1)2 dx\]

2. Naloga Podan je funkcijski predpis funkcije f(x) = \ln (x)

(a) Zapiši definicijsko območje, upoštevaj pomen prvih dveh odvodov in skiciraj graf funkcije.
(b) Izračunaj dolžino krivulje y = f(x) za |x| \le \frac{1}{2}

3. Naloga  Izračunaj integral:

    \[\int_{0}^{1} e^{2x} \sin^2(e^x-1)2 dx\]